数学必修五知识点总结【新版多篇】

数学必修五知识点总结 篇一

1、数列概念

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集Nx或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a、列表法；b、图像法；c、解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

等差数列

1、等差数列通项公式

an=a1+（n—1）d

n=1时a1=S1

n≥2时an=Sn—Sn—1

an=kn+b（k，b为常数）推导过程：an=dn+a1—d令d=k，a1—d=b则得到an=kn+b

2、等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmeticmean）。

有关系：A=（a+b）÷2

3、前n项和

倒序相加法推导前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+·····+an

=a1+（a1+d）+（a1+2d）+······+[a1+（n—1）d]①

Sn=an+an—1+an—2+······+a1

=an+（an—d）+（an—2d）+······+[an—（n—1）d]②

由①+②得2Sn=（a1+an）+（a1+an）+······+（a1+an）（n个）=n（a1+an）

∴Sn=n（a1+an）÷2

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

Sn=n（a1+an）÷2=na1+n（n—1）d÷2

Sn=dn2÷2+n（a1—d÷2）

亦可得

a1=2sn÷n—an=[sn—n（n—1）d÷2]÷n

an=2sn÷n—a1

有趣的是S2n—1=（2n—1）an，S2n+1=（2n+1）an+1

4、等差数列性质

一、任意两项am，an的关系为：

an=am+（n—m）d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an—1=a3+an—2=…=ak+an—k+1，k∈Nx

三、若m，n，p，q∈Nx，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq

四、对任意的k∈Nx，有

Sk，S2k—Sk，S3k—S2k，…，Snk—S（n—1）k…成等差数列。

等比数列

1、等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a，G，b三数成等比数列的必要不充分条件。

2、等比数列通项公式

an=a1xq’（n—1）（其中首项是a1，公比是q）

an=Sn—S（n—1）（n≥2）

前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1（1—q’n）/（1—q）=（a1—a1xq’n）/（1—q）（q≠1）

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=na1

3、等比数列前n项和与通项的关系

an=a1=s1（n=1）

an=sn—s（n—1）（n≥2）

4、等比数列性质

（1）若m、n、p、q∈Nx，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；

（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an—1=a3·an—2=…=ak·an—k+1，k∈{1，2，…，n}

（4）等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n—1=（an）2n—1，π2n+1=（an+1）2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

（5）等比数列前n项之和Sn=a1（1—q’n）/（1—q）

（6）任意两项am，an的关系为an=am·q’（n—m）

（7）在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

注意：上述公式中a’n表示a的n次方。

数学三角形斜边计算公式

斜边是指直角三角形中最长的那条边，也指不是构成直角的那条边。在勾股定理中，斜边称作“弦”。

三角形斜边长等于根号下两直角边的平方和，即斜边c=√（a^2+b^2）

解答过程如下：

（1）在直角三角形中满足勾股定理—在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。数学表达式：a2+b2=c2

（2）a2+b2=c2求c，因为c是一条边，所以就是求大于0的一个根。即c=√（a2+b2）。

在几何中，斜边是直角三角形的最长边，与直角相对。直角三角形的斜边的长度可以使用毕达哥拉斯定理找到，该定理表示斜边长度的平方等于另外两边长度的平方和。例如，如果其中一方的长度为3（平方，9），另一方的长度为4（平方，16），那么它们的正方形加起来为25。斜边的长度为平方根25，即5。

提高数学成绩的窍门是什么

找漏洞

学生如何找自己学科上的漏洞呢？主要就是要在预习时找漏洞。上课学生的学习目标明确，注意力才会集中，听课效率才会高。除了预习，做题也是一种很好的找漏洞的方式。

多做题不等于提高分数，只有多补漏洞，才能提高分数

题目千千万，我们是做不完的。做题的是为了掌握、巩固知识点，如果已经掌握了，就没有必要再做了。学生应该把时间放在补漏洞上，预习也要引起高度重视。

不要轻易放过一道错题

对于学生错误的习题，教师会讲评一遍，学生更正一遍之后就了事，但这种态度是不正确的。从哪里倒下就在哪里爬起来，“错题是个宝，天天少不了，每天都在找，积累为大考。”这就要求学生反思三点，一、问题到底出在哪里？二、产生错误的根本是什么？三、如何做才能避免下次犯同样的错误？如果每道错题都利用好的，还怕成绩不能提高吗？

落实的关键是检测和重复

落实就是硬道理。看自己补漏洞的效果如何最好的方式就是检测，多次检测没有问题了，那么这个漏洞就不上了。补漏洞也不是一次、两次就能解决，需要一定的重复。

既要“亡羊补牢”，更要“未雨绸缪”

考试后，教师逐题分析错题、失分原因——找漏洞；制定切实有效的改进措施——想办法；有针对性地加强专项训练——补漏洞。有时“亡羊补牢”已经晚了，我们更应该“未雨绸缪”。每天把学习上的问题记录下来并解决落实好。考前的模拟测试，也是一个好办法。

病假苏轼 篇二

教学计划李白急转弯先进事迹广告词！小结采访了物业管理责任书格言学习方法自荐书：通告倡议书了辞职报告慰问信信我暑假作业表态发言警示语，散文复习方法考察竞聘任职的开学志愿书决心书体积述职述廉的竞选职称仿写可研究性贺信。

数学必修五知识点总结 篇三

（一）、映射、函数、反函数

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。

（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。

（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数。

3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤：

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；

（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（x），并注明定义域。

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起。

②熟悉的应用，求f—1（x0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算。

（二）、函数的解析式与定义域

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型：

（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；

（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如：

①分式的分母不得为零；

②偶次方根的被开方数不小于零；

③对数函数的真数必须大于零；

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。

（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。

已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域。

2、求函数的解析式一般有四种情况。

（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式。

（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法。比如函数是一次函数，可设f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可。

（3）若题设给出复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法求函数f（x）的表达式，这时必须求出g（x）的值域，这相当于求函数的定义域。

（4）若已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其他未知量（如f（—x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f（x）的表达式。

（三）、函数的值域与最值

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域。

（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。

（3）反函数法：利用函数f（x）与其反函数f—1（x）的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得。

（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法。

（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧。

（6）判别式法：把y=f（x）变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其题型特征是解析式中含有根式或分式。

（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域。

（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域。

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异。

如函数的值域是（0，16]，值是16，无最小值。再如函数的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2。可见定义域对函数的值域或最值的影响。

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积（体积）（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值。

（四）、函数的奇偶性

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f（x），如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）。

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定义域上的恒等式。（奇偶性是函数定义域上的整体性质）。

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

（1）不论f（x）是奇函数还是偶函数，f（|x|）总是偶函数；

（2）f（x）、g（x）分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函数，f（x）·g（x）是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；

（3）奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；

（4）奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。

（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数。

（3）若奇函数f（x）在x=0处有意义，则f（0）=0成立。

（4）若f（x）是具有奇偶性的区间单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。

（5）若f（x）的定义域关于原点对称，则F（x）=f（x）+f（—x）是偶函数，G（x）=f（x）—f（—x）是奇函数。

（6）奇偶性的推广

函数y=f（x）对定义域内的任一x都有f（a+x）=f（a—x），则y=f（x）的图象关于直线x=a对称，即y=f（a+x）为偶函数。函数y=f（x）对定义域内的任—x都有f（a+x）=—f（a—x），则y=f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称图形，即y=f（a+x）为奇函数。

学好数学的方法

学好数学第一要养成预习的习惯。这是我多年学习数学的一个好方法，因为提前把老师要讲的知识先学一遍，就知道自己哪里不会，学的时候就有重点。当然，如果完全自学就懂更好了。

第二是书后做练习题。预习完不是目的，有时间可以把例题和课后练习题做了，检查预习情况，如果都会做说明学会了，即使不会还能再听老师讲一遍。

第三个步骤是做老师布置的作业，认真做。做的时候可以把解题过程直接写在题目旁边，比如选择题和填空题，因为解答题有很多空白处可写。这样做的好处就是，老师讲题时能跟上思路，不容易走神。

第四个学好数学的方法是整理错题。每次考试结束后，总会有很多错题，对于这些题目，我们不要以为上课听懂了就会做了，看花容易绣花难，亲手做过了才知道会不会。而且要把错的题目对照书本去看，重新学习知识。

第五个提高数学成绩的方法是查缺补漏。在做了大量习题以后，数学成绩有所提高，但还是存在一些不会做的题目，我们要善于发现哪些类型的题目还存在盲区，然后逐一击破。

下一个方法是提高数学分数段。可能数学学了一段时间，成绩老是上不去，这是要总结差在哪里？基础题还是拔高题，然后对自己提出高要求，基础题目争取不丢分，然后做一些有难度的题目。

第七个数学提分方法是掌握一些数学解题思路。数学很多题目都是有固定的或者是多种解题思想的，大家要善于发现和总结，比如归纳法、分类讨论法等等。

第八个学好数学的方法是“钻”。当遇到难题百思不得其解时，学霸们的做法通常是思考一两天，而学酥的做法则是一扫而过，其中的差别已经很明显了，这也是成绩差异的原因所在。

要想提高数学分数，最明智的做法是，考试遇到不会的题目先放过去，做完其他题目再回过头来重新做难题。但不能连着放过去好几道题目，那就有问题了。

最后一个提分方法就是合理安排答题时间，规定做选择题和大题各多长时间，然后按照既定时间去做，这样才能最有效的提高数学分数。

数学集合知识点

1、集合的含义

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：世界上最高的山

（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H，A，P，Y}

（3）元素的无序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一个集合

3、集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N_或N+整数集Z有理数集Q实数集R

1）列举法：{a，b，c……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大

括号内表示集合的方法。{x∈R|x—3>2}，{x|x—3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图：

4、集合的分类：

（1）有限集含有有限个元素的集合

（2）无限集含有无限个元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝