《抛物线的简单几何形状》教学设计

一、学习目标

1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．

2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用.

二、学习重点、难点

重点：掌握抛物线的几何性质

难点：体会数形结合的思想

三、学习过程

知识点一：抛物线的几何性质

预习课本P134～137，思考并完成以下问题

（A级 3分）抛物线有哪些几何性质？

知识点 抛物线的简单几何性质

（A级 3分）在同一坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？

题型一 抛物线方程及其几何性质

（A级 5分）【例1】已知抛物线y2＝8x.求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、自变量x的范围．

（A级 5分）练习2.以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是()

A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y

（B级 5分）练习3.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()

A．y2＝6(3)x B．y2＝－3(3)xC．y2＝±6(3)xD．y2＝±3(3)x

（A级 4分）【例4】已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程．

知识点二 直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组y2＝2px(y＝kx＋b，)解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．

当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有个不同的公共点；

若Δ＝0，直线与抛物线有 个公共点；

若Δ<0，直线与抛物线公共点．

当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有个公共点．

题型二 直线与抛物线位置关系的判断

（B级 6分）【例5】已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．

题型三 中点弦问题

知识点 “中点弦”问题解题方法

（B级 4分）【例6】过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．

知识点三 焦点弦问题及常用结论

1．焦点弦

直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋2(p)，|BF|＝x2＋2(p)，故|AB|＝ .

2．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝4(p2)；

|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2θ(2p)(θ为直线AB的倾斜角)；

(3)S△ABO＝2sin θ(p2)(θ为直线AB的倾斜角)；

(4)|AF|(1)＋|BF|(1)＝p(2)；

(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

3．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.

题型四：抛物线常用结论的应用

（B级 4分）【例7】过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．