《指数函数》的精品教案

《指数函数》的优秀教案1

一、教学目标：

1、知识与技能：

（1） 结合实例，了解正整数指数函数的概念.

（2）能够求出正整数指数函数的解析式，进一步研究其性质.

2、过程与方法：

（1）让学生借助实例，了解正整数指数函数，体会从具体到一般，从个别到整体的研究过程和研究方法.

（2）从图像上观察体会正整数指数函数的性质，为这一章的学习作好铺垫.

3、情感.态度与价值观：使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义，增强学习研究函数的积极性和自信心.

二、教学重点：正整数指数函数的定义.教学难点：正整数指数函数的解析式的确定.

三、学法指导：学生观察、思考、探究.教学方法：探究交流，讲练结合。

四、教学过程

（一）新课导入

[互动过程1]：

（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别

为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；

（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n（ ）与得到的细

胞个数y之间的关系；

（3）请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用

科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数.

解：

（1）利用正整数指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1，2，3，

4，5，6，7，8次后，得到的细胞个数

分裂次数 1 2 3 4 5 6 7 8

细胞个数 2 4 8 16 32 64 128 256

（2）1个细胞分裂的次数 与得到的细胞个数 之间的关系可以用图像表示，它的图像是由一些孤立的点组成

（3）细胞个数 与分裂次数 之间的关系式为 ，用科学计算器算得 ，

所以细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别为32768和1048576.

探究：从本题中得到的函数来看，自变量和函数值分别是什么？此函数是什么类型的函数？ 细胞个数 随着分裂次数 发生怎样变化？你从哪里看出？

小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是底数为2的指数，而且指数是变量，取值为正整数. 细胞个数 与分裂次数 之间的关系式为 .细胞个数 随着分裂次数 的增多而逐渐增多.

[互动过程2]：问题2.电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q00.9975 t，其中Q0是臭氧的初始量，t是时间（年），这里设Q0=1.

（1）计算经过20，40，60，80，100年，臭氧含量Q；

（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；

（3）试分析随着时间的增加，臭氧含量Q是增加还是减少.

解：（1）使用科学计算器可算得，经过20，40，60，80，100年，臭氧含量Q的值分别为0.997520=0.9512， 0.997540=0.9047， 0.997560=0.8605， 0.997580=0.8185， 0.9975100=0.7786；

（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化如图所

示，它的图像是由一些孤立的点组成.

（3）通过计算和观察图形可以知道， 随着时间的增加，臭氧含量Q在逐渐减少.

探究：从本题中得到的函数来看，自变量和函数值分别又是什么？此函数是什么类型的函数？，臭氧含量Q随着时间的增加发生怎样变化？你从哪里看出？

小结：从本题中可以看出我们得到的臭氧含量Q都是底数为0.9975的指数，而且指数是变量，取值为正整数. 臭氧含量Q近似满足关系式Q=0.9975 t， 随着时间的增加，臭氧含量Q在逐渐减少.

[互动过程3]：上面两个问题所得的函数有没有共同点？你能统一吗？自变量的取值范围又是什么？这样的函数图像又是什么样的？为什么？

正整数指数函数的定义：一般地，函数 叫作正整数指数函数，其中 是自变量，定义域是正整数集 .

说明： 1.正整数指数函数的图像是一些孤立的点，这是因为函数的定义域是正整数集.2.在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数.

（二）、例题：某地现有森林面积为1000 ，每年增长5%，经过 年，森林面积为 .写出 ， 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积.

分析：要得到 ， 间的函数关系式，可以先一年一年的增长变化，找出规律，再写出 ， 间的函数关系式.

解： 根据题意，经过一年， 森林面积为1000（1+5%） ；经过两年， 森林面积为1000（1+5%）2 ；经过三年， 森林面积为1000（1+5%）3 ；所以 与 之间的函数关系式为 ，经过5年，森林的面积为1000（1+5%）5=1276.28（hm2）.

练习：课本练习1，2

补充例题：高一某学生家长去年年底到银行存入2000元，银行月利率为2.38%，那么如果他第n个月后从银行全部取回，他应取回钱数为y，请写出n与y之间的关系，一年后他全部取回，他能取回多少？

解：一个月后他应取回的钱数为y=2000（1+2.38%），二个月后他应取回的钱数为y=2000（1+2.38%）2；，三个月后他应取回的钱数为y=2000（1+2.38%）3，， n个月后他应取回的钱数为y=2000（1+2.38%）n； 所以n与y之间的关系为y=2000（1+2.38%）n （nN+），一年后他全部取回，他能取回的钱数为y=2000（1+2.38%）12.

补充练习：某工厂年产值逐年按8%的速度递增，今年的年产值为200万元，那么第n年后该厂的年产值为多少？

（三）、小结：1.正整数指数函数的图像是一些孤立的点，这是因为函数的定义域是正整数集.2.在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数。

《指数函数》的优秀教案2

教材分析：

“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的．作为重要的基本初等函数之一，指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用，也为今后研究其他函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础．指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究．

学情分析：

通过初中阶段的学习和高中对函数、指数的运算等知识的系统学习，学生对函数已经有了一定的认识，学生对用“描点法”描绘出函数图象的方法已基本掌握，已初步了解数形结合的思想．另外，学生对由特殊到一般再到特殊的数学活动过程已有一定的体会．

教学目标：

知识与技能：理解指数函数的概念和意义，能正确作出其图象，掌握指数函数的性质并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、中介值）比较大小．

过程与方法：

（1） 体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生观察、归纳、猜想、概括的能力，让学生了解数学来源于生活又在生活中有广泛的应用；理解并掌握探求函数性质的一般方法；

（2） 从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直观、严谨的思维品质．

情感、态度与价值观：

（1）体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐趣；

（2）让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步培养学生的学习兴趣。

教学重点：指数函数的图象和性质

教学难点：指数函数概念的引入及指数函数性质的应用

教法研究：

本节课准备由实际问题引入指数函数的概念，这样可以让学生知道指数函数的概念来源于客观实际，便于学生接受并有利于培养学生用数学的意识.

利用函数图象来研究函数性质是函数中的一个非常重要的思想，本节课将是利用特殊的指数函数图象归纳总结指数函数的.性质，这样便于学生研究其变化规律，理解其性质并掌握一般地探求函数性质的方法 同时运用现代信息技术学习、探索和解决问题，帮助学生理解新只是。

教学过程：

一、问题情境 ：

问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，以此类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？

问题2：一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的 ，设该物质的初始质量为1，经过 年后的剩余质量为 ，你能写出 之间的函数关系式吗？

分析可知，函数的关系式分别是 与

问题3：在问题1和2中，两个函数的自变量都是正整数，但在实际问题中自变量不一定都是正整数，比如在问题2中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，怎么办？

这就需要对函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，我们也可以将函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数——指数函数．

二、数学建构 ：

1]定义：

一般地，函数 叫做指数函数，其中 ．

问题4：为什么规定 ？

问题5：你能举出指数函数的例子吗？

阅读材料（“放射性碳法”测定古物的年代）：

在动植物体内均含有微量的放射性 ，动植物死亡后，停止了新陈代谢， 不在产生，且原有的 会自动衰变.经过5740年（ 的半衰期），它的残余量为原来的一半.经过科学测定，若 的原始含量为1，则经过x年后的残留量为 = .

这种方法经常用来推算古物的年代.

练习1：判断下列函数是否为指数函数．

（1） （2）

（3） （4）

说明：指数函数的解析式y= 中， 的系数是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y= +k （a>0且a 1，k Z）；

有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= （a>0，且a 1），因为它可以化为y= ，其中 >0，且 1

2]通过图象探究指数函数的性质及其简单应用：利用几何画板及其他多媒体软件和学生一起完成

问题6：我们研究函数的性质，通常都研究哪些性质？一般如何去研究？

函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等；

利用函数图象研究函数的性质

问题7：作函数图象的一般步骤是什么？

列表，描点，作图

探究活动1：用列表描点法作出 ， 的图像（借助几何画板演示），观察、比较这两个函数的图像，我们可以得到这两个函数哪些共同的性质？请同学们仔细观察.

引导学生分析图象并总结此时指数函数的性质（底数大于1）：

（1）定义域？R

（2）值域？函数的值域为

（3）过哪个定点？恒过 点，即

（4）单调性？ 时， 为 上的增函数

（5）何时函数值大于1？小于1？ 当 时， ；当 时，

问题8：：是否所有的指数函数都是这样的性质？你能找出与刚才的函数性质不一样的指数函数吗？

（引导学生自我分析和反思，培养学生的反思能力和解决问题的能力）.

根据学生的发现，再总结当底数小于1时指数函数的相关性质并作比较.

问题9：到现在，你能自制一份表格，比较 及 两种不同情况下 的图象和性质吗？

（学生完成表格的设计，教师适当引导）

《指数函数》的优秀教案3

一、教学目标：

知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中，体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教学重点、难点：

教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

三、教学过程：

（一）创设情景

问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x之间，构成一个函数关系，能写出x与y之间的函数关系式吗？

学生回答：y与x之间的关系式，可以表示为y＝2x。

问题2：一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%。求出这种物质的剩留量随时间（单位：年）变化的函数关系。设最初的质量为1，时间变量用x表示，剩留量用y表示。

学生回答：y与x之间的关系式，可以表示为y＝0。84x。

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

1．指数函数的定义

一般地，函数y？a？a？0且a？1？叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。x

问题：指数函数定义中，为什么规定“a？0且a？1”如果不这样规定会出现什么情况？

（1）若a<0会有什么问题？（如a？？2，x？

x1则在实数范围内相应的函数值不存在）2（2）若a=0会有什么问题？（对于x？0，a无意义）

（3）若a=1又会怎么样？（1x无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要。）

师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a？0且a？1。

练1：指出下列函数那些是指数函数：

？1？（1）y？4x（2）y？x4（3）y？？4x（4）y？？？4？（5（转载于：，n的大小：

设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

（五）课堂小结

（六）布置作业

《指数函数》的优秀教案4

教学目标：

1.进一步理解指数函数的性质；

2.能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；

教学重点：

指数函数的性质的应用；

教学难点：

指数函数图象的平移变换.

教学过程：

一、情境创设

1.复习指数函数的概念、图象和性质

练习：函数y=ax（a0且a1）的定义域是_____，值域是______，函数图象所过的定点坐标为 .若a1，则当x0时，y 1；而当x0时，y 1.若00时，y 1；而当x0时，y 1.

2.情境问题：指数函数的性质除了比较大小，还有什么作用呢？我们知道对任意的a0且a1，函数y=ax的图象恒过（0，1），那么对任意的a0且a1，函数y=a2x1的图象恒过哪一个定点呢？

二、数学应用与建构

例1 解不等式：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） .

小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样，是指数性质的运用，关键是底数所在的范围.

例2 说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图：

（1） ； （2） ； （3） ； （4） .

小结：指数函数的平移规律：y=f（x）左右平移 y=f（x+k）（当k0时，向左平移，反之向右平移），上下平移 y=f（x）+h（当h0时，向上平移，反之向下平移）.

练习：

（1）将函数f （x）=3x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数 的图象.

（2）将函数f （x）=3x的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数 的图象.

（3）将函数 图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位所得函数的解析式是 .

（4）对任意的a0且a1，函数y=a2x1的图象恒过的定点的坐标是 .函数y=a2x—1的图象恒过的定点的坐标是 .

小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合，就可以构造出函数的简图，从而许多问题就可以找到解决的突破口.

（5）如何利用函数f（x）=2x的图象，作出函数y=2x和y=2|x2|的图象？

（6）如何利用函数f（x）=2x的图象，作出函数y=|2x—1|的图象？

小结：函数图象的对称变换规律.

例3 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且x0时，f（x）=1—2x，试画出此函数的图象.

例4 求函数 的最小值以及取得最小值时的x值.

小结：复合函数常常需要换元来求解其最值.

练习：

（1）函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于 ；

（2）函数y=2x的值域为 ；

（3）设a0且a1，如果y=a2x+2ax—1在[—1，1]上的最大值为14，求a的值；

（4）当x0时，函数f（x）=（a2—1）x的值总大于1，求实数a的取值范围.

三、小结

1.指数函数的性质及应用；

2.指数型函数的定点问题；

3.指数型函数的草图及其变换规律.

四、作业：

课本P55—6，7.

五、课后探究

（1）函数f（x）的定义域为（0，1），则函数 的定义域为 。

（2）对于任意的x1，x2R ，若函数f（x）=2x ，试比较 的大小。