函数的图象【多篇】

函数的图象 篇一

河南省说课大奖赛教案

高中新教村《数学》第一册（下）

§4.8  正弦函数、余弦函数的图象和性质（一）

正弦函数、余弦函数的图象

单位：河南省济源市第一中学

作者：石    明    秀

时间：2000年9月9日

一、教材分析：

本节课是高中新教材《数学》第一册（下）§4.8《正弦函数、余弦函数的图象和性质》 的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法。为今后学习正弦型函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。

二、学情分析：

在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。

三、教学目标 ：

依据教学大纲的要求，制订如下三维教学目标 ：

知识目标是：1.理解几何法作图原理（难点）；

2.掌握五点法作图（重点）；

3.了解三角函数图象的变换作图。

能力目标是：通过识记正、余弦曲线的形状特征，培养学生分析问题、

解决问题的能力；强化学生＂数形结合＂的数学思想。

发展目标是：教给学生灵活的思维方法，培养学生的学习兴趣和勇于

探索、勇于创新的精神，提高综合素质。

四、设计理念：

教无定法，贵在得法。诱思探究学科教学论认为：在教学思想上是启发式，在教学过程 上是探究式，在教学价值上是发展式。德国教育学家第斯多惠也曾说过：教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。为了充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，充分让学生参与教学活动。同时利用多媒体电教手段提高学生的学习兴趣。采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法；教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法。体现“教师是主导，学生是主体”的教学原则。使学生不但“学会”而且“会学”，并逐步感受到数学的美，产生成就感，从而极大地提高对数学的学习兴趣。也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

五、教学程序：

本节课的教学过程 设计，主要是从“三性”即“课堂流程的可操作性，知识目标的可接受性，学生主动学习的积极性”考虑的，对整个教学过程 作如下安排：

教学程序图如下：

第一部分：导入  .先复习以前学过的函数图象的作法——描点法，再让学生观察波动图象演示仪，激起学生的兴趣。指出这种形状的曲线就是今天要研究的正、余弦函数的图象。如何作出该曲线呢？

以设问和探索的方式导入  新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动。

第二部分：几何法作图。引导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线，并进行平移，描点作图。先作出 y＝sinx(x∈[0，2π])和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，再依据诱导公式一平移图象得出  y＝sinx，x∈R的图象。同法得出 y=cosx，x∈R的图象。

第三部分：多媒体展示。教师利用多媒体展示用Flash动画制作的课件，规范作图过程和步骤，统一认识y＝sinx（x∈[0，2π]）和y=cosx(x∈[0，2π]的图象，在此提醒学生在直角坐标系中，横、纵坐标轴的长度单位必须一致。否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。

第四部分：“五点法”作图。曲线形成后，让学生观察图象的形状特征，分析讨论，提炼出五个关键点，归纳出“五点法”作图步骤。

第五部分：总结。让学生自己总结本节课的重点、难点和学习目标，教师再补充。这样做，会检测出学生听课、分析、思考和掌握知识的情况，对本节课的教学起到画龙点睛的作用。

如此设计，联系了新旧知识，体现了从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律。在这种螺旋式上升的过程中，学生将通过自己的亲自动手实践，不仅学到本节课的知识，而且还将提高思维水平和认知能力。同时也体现了"教师为引导，学生为主体，体验为红线，探索得材料，研究获本质，思维促发展"的教学思想。同时在教学过程 中配以多媒体课件的展示，图文并茂，简洁明快，充分调动学生的各个感官，使学生学的生动，学的有趣，增大课堂容量，提高课堂效率。

为了突破几何法作图这个难点，制作了多媒体课件，将 y＝sinx，x∈R

和  y＝cos x，x∈R图象的作法分解为三个问题来解决，降低了难度。通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程。使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣，调动学生的积极性(通过教学也的确是这样的).及时让学生跟着演示作图，提高学生的动手能力、模仿能力、创造能力。直观的动画，不仅使学生愉快地接受新知识，而且将激发学生的创造性思维和想象力，使学生充分发挥其思维潜能，拓展思维空间。

用“三步曲”来突出“五点法”作图这个重点。第一步设疑：“几何法作图。由于取点个越多，画出的图象也就比较精确，但也较为麻烦。在精确度要求不高的前提下，能否少定一些点，作出其简图呢？”问题的提出可以立刻抓住学生的好奇心，激起学生强烈的求知欲。第二步引导：让学生观察正弦函数 y＝sinx，x∈[0，2π]和余弦函数y＝ cosx，x∈[0，2π]的图象，启发哪些点对决定图象的形状起着关键的作用呢？引导学生寻找出五个关键点。体现教师的主导作用；第三步小结：让学生分组讨论，互相补充，归纳出五点法作图步骤。教师对学生讨论的情况作出评价并指出作图应注意的问题，然后小结：“五点法”可以比较简捷地作出正弦、余弦函数的草图，对于以后研究正弦、余弦函数的性质将起到重要的作用。这样设计体现了“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现”的学习方法，使学生真正成为教学的主体。

应用：画出下列函数的简图：

(1)y=1+sinx    x∈［0,2π］;

(2)y=－cosx    x∈［0,2π］.

解：(1)按五个关键点列表：

利用正弦函数的性质描点画图(如下图).

(2)按五个关键点列表：利用余弦函数的性质描点作图(如下图).

反馈练习：

1.在同一坐标系中用五点法分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x[－ , ]的简图。通过观察两条曲线，后者经过怎样平行移动就可以得到前者？

2.观察正弦函数和余弦函数，写出满足下列条件的x的区间：

(1)sinx＞0           (2)sinx＜0            (3)cosx＞0              (4)cosx＜0

（例题、练习都用课件展示）

本节例题仍选用教材上的例题，但解答除“五点法”之外，又引导学生利用函数图象的平移对称变换来作图。通过一题多解，可帮助学生加深对知识的认知程度，培养灵活的思维方式。学会遇到新问题时，善于调动所学过的旧知识，运用新旧知识间的联系，增强分析问题和解决问题的能力。

反馈练习设计层次分明：练习1为巩固基础知识型，对课堂内容知识的再认识(五点作图及图象变换);练习2为提高能力型，是对正(余)弦函数图象的灵活运用，由易到难，体现因材施教重效果，循序渐进促发展的教学理念。

最后师生共同总结，强化数形结合的数学思想，使学生的理论达到发展和升华，能力达到提高，并为相关学科的学习做好铺垫，提高综合素质。

六、板书设计 ：(略)

七、布置作业 ：(略)

函数的图象 篇二

一、教学目的

1.使学生初步认识函数的图象。

2.使学生了解函数的列表表示法。

3.使学生了解函数的图象表示法。

4.使学生会用描点法画出简单函数的图象。

二、教学重点、难点

重点：介绍函数图象的初步知识。

难点：对于函数图象的认识。

三、教学过程

复习提问

1.一种豆子每千克售2元，写出买豆子的总金额y(元)与所买豆子的数量x(千克)之间的函数关系。(答：y=2x.)

2.在第一题的函数式中，谁是自变量？谁是函数？说出自变量的取值范围。(答：x是自变量，y是x的函数，x可取所有非负实数。)

3.由函数y=2x，填出下表：

(答：下一行：0，1，2，3，4，5，6.)

4.平面直角坐标系是怎样组成的？(答：在平面内画两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系。)

5.什么是点的横坐标、纵坐标、坐标？(答：平面直角坐标系中一个点A在x轴上的坐标叫横坐标a，点A在y轴上的坐标叫纵坐标b，把a，b合起来，且a在前、b在后：(a，b)就是点A的坐标。)

6.点A的坐标如(5，4)，又可以称作什么？(答：一对有序实数。)

7.坐标平面内的点与有序实数对的关系是什么？(答：一一对应关系。)

新课

1.函数的表示法——列表法。

通过上述1～3个问题的提问及学生的回答，由y=2x及表格，按照函数定义，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应。这就告诉我们，上面的表格本身也表示了y与x之间的函数关系。于是我们把这种通过列表表示函数的方法叫列表法。列表法的优点：容易由自变量的值求出对应的函数的值。列表法的缺点：不能把一个函数在自变量取值范围内的所有值都列出来，所以有局部性；或所求的函数值是近似值。

2.通过上述复习提问第3～7题及学生的回答，我们把第3题的表中的x，y值对应地写出来，就得出了一列有序实数对：(0，0)，(0.5，1)，(1，2)，(1.5，3)，….这里强调学生要进一步明确“有序”的意义，(1.5，3)，(3，1.5)是不相同的有序实数对。再联系到平面内的点与有序实数对的一一对应关系，于是我们借助平面直角坐标系，就可以把这些有序实数对转化为坐标平面内的点。这样就可以用平面内的图形来表示函数关系。

3.从最简单的函数y=x入手来分析及画出其图象。

(1)让学生完成x与y的对应值表。

(2)在有坐标格的小黑板上，把表中给出的7个有序实数对作为点的坐标，师生一道描出这7个点。

(3)分析函数y=x的特点：自变量与函数的值相等。它的任意一对对应值都可以表示成(m，m)的形式(m可取全体实数).借助坐标平面可知，表示(m，m)的点就是到x轴的距离与到y轴的距离相等的点。我们把x轴与y轴所划分的坐标平面的四个角叫象限角，依次有第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角。由平面几何知识可知，到一个角的两边的距离相等的点，它的轨迹是这个角的平分线。换一句话说，到这个角两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反之，在这个角的平分线上的所有的点，到这个角的两边距离都相等。于是函数y=x的整个图象就可以画出了。它是第一象限角和第三象限角的两个角的平分线，是一条直线。

4.对于函数图象要辩证地双向分析：图象上每一个点的坐标，都是这个函数的一对对应值；反之，每个坐标是这个函数的一对有序的对应值的点，都在这个函数的图象上。

5.函数的表示法——图象法。我们用图象来表示一个函数的方法，叫图象法。函数的图象法优点：形象、直观。缺点：求得的函数值是近似的。

小结

1.画函数图象的方法步骤：

(1)根据函数的解析式列出函数对应值表。

(2)用这些对应值作为点的坐标，在坐标平面内描点。

(3)把这些点用平滑曲线连结起来，可得函数图象。

2.函数的三种表示法：(1)解析法，(2)列表法，(3)图象法。

练习；选用课本练习(只要求列表、描点。)

补充例题

1.解答课本本章题图中的两个问题。

2.画出函数y=3x的图象。(只要求列表、描点。)

作业 ：选用课本习题(只填表、描点，不要求连线。)

四、教学注意问题

1.注意双向思维的渗透与训练。比如，由函数的关系式可得函数图象；反之，由函数的图象也可表示函数关系，等等。

2.注意渗透转化思想方法。比如，把有序实数对转化为坐标平面内的点等等。

3.注意精微，要善于区分邻近概念，比如“实数对”与“有序实数对”虽两字之差，但意义不同。

函数的图象 篇三

函数的图象

教学目标

（一）知道函数图象的意义；

（二）能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；

（三）能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值。

教学重点和难点

重点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。

难点：对已恬图象能读图、识图，从图象解释函数变化关系。

教学过程 设计

（一）复习

1.什么叫函数？

2.什么叫平面直角坐标系？

3.在坐标平面内，什么叫点的横坐标？什么叫点的纵坐标？

4.如果点A的横坐标为3，纵坐标为5，请用记号表示A（3，5）.

5.请在坐标平面内画出A点。

6.如果已知一个点的坐标，可在坐标平面内画出几个点？反过来，如果坐标平面内的一个点确定，这个点的坐标有几个？这样的点和坐标的对应关系，叫做什么对应？（答：叫做坐标平面内的点与有序实数对一一对应）

（二）新课

我们在前几节课已经知道，函数关系可以用解析式表示，像y=2x+1就表示以x 为自变量时，y是x的函数。

这个函数关系中，y与x的函数。

这个函数关系中，y与x的对应关系，我们还可通知在坐标平面内画出图象的方法来表示。

具体做法是

第一步：列表。（写出自变量x与函数值的对应表）先确定x的若干个值，然后填入相应的y值。

函数式y=2x+1

自变量x

-2

-1

0

1

2

函数值y

-3

-1

1

3

5

（这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法）

第二步：描点，对于表中的每一组对应值，以x值作为点的横坐标，以对应的y值作为点的纵坐标，便可画出一个点。也就是由表中给出的有序实数对，在直角坐标系中描出相应的点。

第三步     连线，按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来，得到的图形就是函数式y=2x+1的图象。图13-24

例1          在同一直角坐标系中画出下列函数式的图象：

（1）y=-3x;(2)y=-3x+2; (3)y=-3x-3

分析：按照列表、描点、连线三步操作。

解：

函数式（1）y=-3x

自变量x

-2

-1

0

1

2

函数y

6

3

0

-3

-6

函数（2）y=-3x+2

自变量x

-2

-1

0

1

2

函数y

8

5

2

-1

-4

函数（3）y=-3x-3

自变量x

-2

-1

0

1

2

函数y

3

0

-3

-6

-9

它们的图象分别是图13-25中的（1）（2）（3）。

例2     某化工厂1月到12月生产某种产品的统计资料如下：

X/月份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Y/产品吨数

2

3

3

4

5

6

6

6

5

4

5

7

（1）在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标，以该月的产值作为点的纵坐标画邮对应的点。把12个点画在同一直角坐标系中。

（2）按照月份由小到大的顺序，把每两个点用线段连接起来。

（3）解读图象：从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的。

（4）如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的，请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨？

解：（1），（2）见图13-26

（3）产量上升：1月到2月；3月，4月，5月，6月逐月上升；10月，11月，12月逐月上升。

产量下降：8月到9月，9月到10月。

产量不升不降：2月到3月；6月到7月，7月到8月。

（4）过x轴上的4.5处作y轴的平行线，与图象交于点A,则点A的纵坐标约4.5 ，所以4月15日的产量约为4.5吨。

（三）课堂练习

已知函数式y=-2x。用列表(x取-2,-1,2,1,2),描点，连线的程序，画出它的图象。

（四）小结

到现在，我们已经学过了表示函数关系的方法有三种：

1.解析式法——用数学式子表示函数的关系。

2.列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系。

3.图象法——把自变量x作为点的横坐标，对应的函数值y作为点的纵坐标，在直角坐标系内描出对应的点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象。用图象来表示函数y与自变量x对应关系。

这三种表示函数的方法各有优缺点。

1.用解析法表示函数关系

优点：简单明了。能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。

缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算。

2.用列表表示函数关系

优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便。

缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律。

3.用图象法表示函数关系

优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化。

缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。

函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点，因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象。

（五）作业

1.在图13-27中，不能表示函数关系的图形有

（A）（a）,(b),(c)  (B)(b),(c),(d) (C)(b),(c),(e)   (D)(b),(d),(e)

2.函数y= 的图象是图13-28中的（  ）

3.矩形的周长是12cm，设矩形的宽为x(cm)，面积为y(cm2).

(1)             以x为自变量，y为x的函数，写出函数关系式，并在关系式后面注明x的取值范围；

(2)             列表、描点、连线画出此函数的图象

4.（1）画出函数y=- x+2的图象（在-4与4之间，每隔1取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画图）；

（2）判断下列各有序实数对是不是函数。Y=- x+2的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有相应坐标的点是否在你所出的函数图象上：

（-2，2 ），  （- ，2 ），    （-1，3）， （ ，1 ）

5.画出下列函数的图象：

（1）y=4x-1; (2)y=4x+1

6.图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象。根据图象回答，在这一天：

（1）8时，12时，20时的气温各是多少；

（2）最高气温与最低气温各是多少；

（3）什么时间气温最高，什么时间气温最低。

7.画出函断y=x2的图象（先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连结各点）：

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

8.画出函数y= 图象（先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连结各点）：

X

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

y

作业 的答案或提示

1.              选（C）,因为对应于x的一个值的y值不是唯一的。

2.              选(D)当x<0时， =-x,所以y= = =-1,当x>0时， =x，所以y= = =1

3.

（1）y=x(6-x)其中0

（2）

X

0

1

2

3

4

5

6

y

0

5

8

9

8

5

0

4.

Y=- x+2

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

3

3

2

2

2

1

1

1

经过检验，点（- ，2 ）及点（ ，1 ）在所画的函数图象上。

5.

Y=4x-1

X

-2

-1

0

1

2

y

-9

-5

-1

3

7

Y=4x+1

x

-2

-1

0

1

2

y

-7

-3

1

5

9

6.(1)8时约5℃，20时约10℃。（2）最高气温为12℃，最低气温为2℃。（3）14时气温最高，4时气温最低。

7.

Y=x2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

4

2.25

1

0.25

0

0.25

1

2.25

4

8.

Y=

X

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

y

-1

-

-

-2

-3

-6

6

3

2

1

课堂教学设计说明

1.在建立平面直角坐标系后，点的坐标（有序实数对）与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应，把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法。

2.本课的目标是使学生会画函数图象，并会解读图象，即会从图象了解到抽象的数量关系。为此，先在复习旧课时，着重提问坐标平面上的点与有序实数对一一对应，接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤。

3.教学设计中的例3，既训练学生从已数据画图象，又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力，对函数图象功能有一个完整的认识。

4.在小结中，介绍了函数关系的三种表示方法，并说明它们各自的优缺点，有利于对函数概念的透彻理解。

5.作业 中的第1-3题，对训练函数图象很有帮助。

第1题，目的要说明，对于x的一个值，y必须是唯一的值与之对应，而（b）(c)(e)都是对于x一个值，y有不止一个值与之对应，所以y不是x的函数，本题还训练解读图形的能力。

第2题，训练学生分类讨论的数学思想，在去掉绝对值符号时，必须分x≥0与x<0讨论。

第3题，训练学生根据已知条件建立函数解析式，并列表、描点、连线画出图象的能力，这些都是学习函数问题时应具备的基本功。

函数的图象 篇四

以下是“反比例函数的图象和性质”(第一课时)说课稿，希望大家喜欢！

一、教材分析 ：

主要从地位与作用，教学目标，重点难点三方面进行阐述。

(一)地位与作用：

本节教材是在学生理解反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学的，是本章学习的重点，为后面学习实际问题与反比例函数及画二次函数图象奠定基础。

(二)教学目标 ：

根据课改“以学生为主体，激活课堂气氛，充分调动起学生参与教学过程”的精神。在教学设计上，我设想通过使用多媒体课件创设情境，在掌握反比例函数相关知识的同时激发学生的学习兴趣和探究欲望，引导学生积极参与和主动探索。因此把教学目标确定为：

知识目标 ：学会用描点法作反比例函数的图象，能结合函数图象进行探索 . 理解并掌握反比例函数的性质。

能力目标 ：培养学生的作图能力，观察 . 分析 . 归纳能力，渗透数形结合的数学思想方法，逐步形成解决问题的一些基本策略。

情感目标 ：在动手实践 . 合作交流中，培养学生的团结协作精神，通过利用函数图象探索反比例函数的性质，让学生体验到数学活动中充满了探索与创造，培养了学生的创新意识。

(三)教学重点，难点：

因为通过本节学习使学生会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质，所以确定 本节的重点为：反比例函数图象的画法及探究反比例函数的性质；

因为反比例函数的图象有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难。据此确定 本节课的难点为：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析。

华罗庚教授曾深刻指出：“数无形，少直观；形无数，难入微 . ”为了突出重点、突破难点。 我 让学生动手操作，积极参与并主动探索函数性质， 利用多媒体教学 帮助学生直观地理解反比例函数的性质

二、教法学法分析

( 一 ) 教法分析

鉴于教材特点及八年级学生的年龄特点、心理特征和认知水平， 为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、小组讨论、合作探究相结合的教学方式。在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、分析和动手操作，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。

( 二 ) 学法分析

在教学过程中，学生掌握一种方法远比学会一个知识点重要的多。为使学生掌握科学的学习方法，养成良好的学习习惯，我根据课程标准的要求及本节的内容以及学情分析，在课堂教学中，我充分发挥学生在教学中的主体作用，让他们 运用 观察、操作、归纳、猜想和验证的方式进行学习，养成善于观察、乐于思考、勤于动手、敢于表达的学习习惯，挖掘学习潜能，培养自主学习和与人合作交流的能力。

三、教学程序设计：

(一)创设情境，引入新课

(二)类比联想，探究交流

( 三 ) 探索比较，发现规律

(四)运用新知，拓展训练

(五) 归纳总结，布置作业

四教具准备：坐标纸多媒体课件

五 、教学过程

活动一情景导入 激发兴趣

1，正比例函数 Y = 6倍 的图象是什么形状？ 作图的步骤是什么？

2 、猜测：反比例函数 的图象会是什么形状呢？我们可以用什么方法画这个反比例函数的图象？

通过问题一帮助学生回忆用描点法画函数图象 作函数图象的基本步骤：包括列表、描点、连线 ，激活学生原有的知识，为探究反比例函数图象的画法奠定基础。问题二的提出，给学生一个想象空间，激发学生参与课堂学习的热情。

活动二类比联想 探索交流

1， 活动一 ： 尝试在坐标纸上画出反比例函数 Y = 和Y = - 的图象。

学生是首次接触到双曲线这种比较特殊函数图象， 我设计为y= 由师生共同完成。学生在完成时 可能会在下面几个环节中出错：

(1)在“列表”这一环节

在取点时学生可能会取零，在这里可以引导学生结合代数的方法得出x不能为零。也可能由于在取点时的不恰当，导致函数图象的不完整、不对称。在这里指导学生在列表时，自变量x的取值可以选取 容易计算且 绝对值相等而符号相反的数，相应的就得到绝对相等而符号相反的对应的函数值，这样可以简化计算的手续， 以便于描点和全面反映图象的特征。

(2)在描点这一环节

描点时，一般情况下所选的点越多则图象越精细。

(3)在“连线”这一环节

连线时，让学生根据已经描好的点先思考：图象有没有可能是直线。学生自主探究发现图象特点后，引导学生用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点，得到反比例函数的图象。 同时让学生思考：反比例函数的图象与两坐标轴会有交点吗？ 学生在讨论后得出答案：由于K≠0.所以xy都不为0.永远都不会与xy轴产生交点。

2. 在纠正好学生可能犯的错误后让学生画出Y = - 的图象 。

(这里我的设计意图是：通过画反比例函数的图象使学生进一步了解用描点法画函数图象的基本步骤，为以后画二次函数图象奠定了基础，同时也培养了学生动手操作能力)

3.比较 Y = 和Y = - 的图象有什么共同特征它们之间有什么关系？

学生通过观察比较，总结出两个反比例 函数图象的共同特征(都是双曲线)，以及在平面直角坐标系中的位置。在活动中，让学生自己去观察、类比发现，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与和探究新知的目的。

4 多媒体展示学生作图中常见问题：

这个过程可以进一步纠正学生在画反比例函数图象的错误。

5，巩固训练：画函数Y = 和Y = - 的图象

这个过程可以 让 学生进一步 掌握 画反比例函数图象的 基本 方法 和步骤 ，也为后面观察分析归纳出反比例函数图象的性质增加感性认识。

活动三探索比较 发现规律

以四人小组为单位做游戏：每人手中拿一种 自己坐标纸上的 函数的图象，观察函数 与 的图象以及 与 的图象，找一找它们之中谁和谁可以成为好朋友？ 并说出你的理由。

学生讨论分类：

分类一： 观察与的图象特征

归纳总结1：当 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内 随 值的增大而减小

分类二： 观察与的图象特征

归纳总结2：当 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内 随 值的增大而增大

分类三： 观察与的图象特征

归纳总结3 ：在同一直角坐标系内两个反比例函数图象 关于 轴对称，也关于 轴对称， 即 具有对称关系的两个反比例函数的 值互为相反数。

通过游戏能很好的激发学生学习的兴趣， 让学生更好的投入到课堂学习中从而掌握知识

突破难点。同时 增强学生之间的合作交流，共同解决问题的 能力，学生通过观察图形探索发现规律，很好的渗透了数形结合的思想，有利于加深学生对性质的理解和掌握。 老师再利用多媒体展示出反比例函数的图象和性质，使每个学生的条理和认识更加清晰。

性质：(1)反比例函数Y =(K 为常数，K≠0)的图象是双曲线。

(2)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y的值随x值的增大而减小。

(3)当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大。

(4) 当互为相反数时 ， 对应的反比例函数图象既关于轴对称， 也关于轴对称

(四) 运用新知，拓展训练

根据新课标精神，“人人学有用的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”在练习时给出有梯度的练习，以满足不同层次学生学习的需要。 也能很好的体现分层教学的要求。

1.已知反比例函数y =(K≠0) 的图象如图所示，则ķ 0，

在图象的每一支上，Y值随点¯x的增大而 。

2.下列图象中，是反比例函数的图象的是

3，函数的图象在第________象限，在每一象限内，y随点¯x的增大而_________。

4，函数 的图象在第________象限，在每一象限内，y随点¯x的增大而______。

5，函数，当x>0时，图象在第____象限，y随点¯x的增大而_________。

六、拓展练习：

1、已知反比例函数

(1) 若函数的图象位于第一三象限，则k______;

(2) 若在每一象限内，y随点¯x增大而增大，则k______。

2﹑已知 氏 “0，函数 Y 1 = KX，Y = 2 在同一坐标系中的图象大致是

拓展练习是为了让学生灵活运用反比例函数性质解决问题，让学生在完成习题时都能紧扣性质进行分析，达到理解并掌握性质的目的。

( 五 )，归纳总结，布置作业

1，对同学说你有什么收获1)，知识2)，思想方法

2，对老师说你有什么困惑

知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。 从而体验到学习数学的快乐。

作业巩固：习题17.1：第3和第8题。

七、板书设计

八、教学设计思路

本节课老师首先引导学生回顾用描点法画函数图象的方法，激活学生原有的知识，然后引导学生画反比例函数图，并让学生利用游戏来观察图象，探究分析，得出反比例函数的基本性质，让学生自我构建新知识。在整个活动中。学生的知识不是从老师那里直接复制或灌输到头脑中来的，而是让学生自己去观察、感受、讨论、发现、探究、总结得到的。实现了 学习中让 学生自己动手、主动探索、合作交流 的目的。

以上这是我对本节课的理解，希望和位评委，老师批评指正，谢谢

函数的图象 篇五

一次函数的图象和性质

一、目的要求

1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

2.结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

3.在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

二、内容分析

1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13.3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

三、教学过程

复习提问：

1.什么是一次函数？什么是正比例函数？

2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x   y=2x-1   y=2x+1

新课讲解：

1.我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

一般地，一次函数的图象是一条直线。

前面我们在画一次函数的图象时，采用先列表、描点，再连续的方法。现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

先看两个正比例项数，

y=0.5x

与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

y=0

即函数图象经过原点。(让学生想一想，为什么？)

除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：

(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k)；

(2)在坐标平面内描出点(0， o)与点(1，k)；

(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线。

这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象。

观察正比例函数  y=0.5x 的图象。

这里，k＝0.5＞0.

从图象上看， y随x的增大而增大。

再观察正比例函数 y＝-0.5x  的图象。

这里，k＝一0.5＜0

从图象上看， y随x的增大而减小

实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质。

先看

y=0.5x

任取两对对应值。 (x1,y1)与(x2,y2)，

如果x1＞x2，由k＝0.5＞0，得

0.5x1＞0.5x2

即   yl＞y2

这就是说，当x增大时，y也增大。

类似地，可以说明的y＝-0.5x  性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：

（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；

（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。

2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)

通常选取

(o，b)与(-

两点，

对于例 l中的一次函效

y=2x+1与y=-2x+1

就分别选取

(o，1)与(一0.5，2)，

还有

(0，1)—与(0.5.0).

在例1之后，顺便指出，一次函数y＝kx+b的图象，习惯上也称为直线) y＝kx+b

结合例1中的两个一次函数的图象，就可以得到与正比例函数类似的关于一次函数的两条性质。

对于一次函数的性质，也可以从一次函数的解析式分析得出，这与正比例函数差不多。

课堂练习：

教科书13.5节第一个练习第l—2题，在做这两道练习时，可结合实例进一步说明正比例函数与一次函数的有关性质。

课堂小结：

1.正比例函数y=kx图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求图象。

2. 一次函数y＝kx+b图象的画法：在y轴上取点(0，6)，在x轴上取点，0)，过这两点的直线即所求图象。

3.正比例函数y=kx与一次函数y＝kx+b的性质(由学生自行归纳).

四、课外作业

1.教科书习题13.5a组第l一3题。

2.选作教科书习题13.5b组第1题。

一次函数的图象和性质

一、目的要求

1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

2.结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

3.在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

二、内容分析

1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13.3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

三、教学过程

复习提问：

1.什么是一次函数？什么是正比例函数？

2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x   y=2x-1   y=2x+1

新课讲解：

1.我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

一般地，一次函数的图象是一条直线。

前面我们在画一次函数的图象时，采用先列表、描点，再连续的方法。现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

先看两个正比例项数，

y=0.5x

与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

y=0

即函数图象经过原点。(让学生想一想，为什么？)

除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：

(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k)；

(2)在坐标平面内描出点(0， o)与点(1，k)；

(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线。

这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象。

观察正比例函数  y=0.5x 的图象。

这里，k＝0.5＞0.

从图象上看， y随x的增大而增大。

再观察正比例函数 y＝-0.5x  的图象。

这里，k＝一0.5＜0

从图象上看， y随x的增大而减小

实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质。

先看

y=0.5x

任取两对对应值。 (x1,y1)与(x2,y2)，

如果x1＞x2，由k＝0.5＞0，得

0.5x1＞0.5x2

即   yl＞y2

这就是说，当x增大时，y也增大。

类似地，可以说明的y＝-0.5x  性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：

（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；

（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。

2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)

通常选取

(o，b)与(-

两点，

对于例 l中的一次函效

y=2x+1与y=-2x+1

就分别选取

(o，1)与(一0.5，2)，

还有

(0，1)—与(0.5.0).

在例1之后，顺便指出，一次函数y＝kx+b的图象，习惯上也称为直线) y＝kx+b

结合例1中的两个一次函数的图象，就可以得到与正比例函数类似的关于一次函数的两条性质。

对于一次函数的性质，也可以从一次函数的解析式分析得出，这与正比例函数差不多。

课堂练习：

教科书13.5节第一个练习第l—2题，在做这两道练习时，可结合实例进一步说明正比例函数与一次函数的有关性质。

课堂小结：

1.正比例函数y=kx图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求图象。

2. 一次函数y＝kx+b图象的画法：在y轴上取点(0，6)，在x轴上取点，0)，过这两点的直线即所求图象。

3.正比例函数y=kx与一次函数y＝kx+b的性质(由学生自行归纳).

四、课外作业

1.教科书习题13.5a组第l一3题。

2.选作教科书习题13.5b组第1题。

函数的图象 篇六

教学目标：

1、培养学生看图识图的能力。

2、在识图过程中，渗透数形结合的数学思想。

3、从不同知识的背景提取的对象，可以使学生认识到数学的广泛应用性。

4、激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探索精神

教学重点：培养学生看图识图的能力

教学难点：渗透数形结合的数学思想

教学用具：计算机、投影机

教学方法：谈话法、分组讨论

教学过程：

1、阅读习题13.3的第四题

学生阅读后，老师可以提问学生，分别回答：

下图是北京春季某一天的

2、提出看图说图的重要性

随着计算机的普及，很多软件都可以做到输入解析式后，立刻显示出函数图象来，这样看图、识图就变得相当重要了。从上题就可以看出，图形的表示更直观，一目了然。也便于分析结论。数学不仅有数的一面，也有“形”的一面。美国著名数学家M克莱茵曾指出：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”数学具有广泛的应用性，其它学科和日常生活都可以找到应用数学解决问题的例子。

3、为学生提供相对丰富的素材，体会以图识性。

例1、如图所示，A、B两条曲线表示A、B两种物质在不同温度时的相应溶解度，现有未饱和的A、B溶液各一杯，它们的温度都是 .如果不准增加A、B两种溶质，请你想一想，用什么办法能分别把它们变成饱和溶液？

（读题后，可组织学生分组讨论。若学生还没有学习相应的化学知识，老师可以解释一下。一般学生都能理解。关键是学生都从图中看出了什么。既有定量的分析，又能得出定性的规律）.

从A、B的溶解度曲线分析，随着温度升高，A物质的溶解度增大很快，而物质B的溶解度变化不大，针对这两种不同的特征，可以采用不同的方法。

如对未饱和的A溶液，可以采用降低温度的使它饱和因为根据A物质的曲线，可以看出，降低温度，物质A的溶解度会迅速减小。

而对B物质来讲，它的溶解度受温度的影响变化不大，要把不饱和溶液变为饱和，就需要用减少溶剂的办法。把溶液加热，使溶剂蒸发掉一些。溶剂逐渐减少到一定程度，不饱和的溶液就会变成饱和的了。

第 1 2 页

函数的图象 篇七

教学目标 ：

1、使学生能进一步理解函数的定义，根据实际情况求函数的定义域，并能利用函数解决实际问题中的最值问题。

2、渗透函数的数学思想，培养学生的数学建模能力，以及解决实际问题的能力。

3、能初步建立应用数学的意识，体会到数学的抽象性和广泛应用性。

教学重点：

1、从实际问题中抽象概括出运动变化的规律，建立函数关系式。

2、通过函数的性质及定义域范围求函数的最值。

教学难点 ：

从实际问题中抽象概括出运动变化的规律，建立函数关系式

教学方法：讨论式教学法

教学过程 ：

例1、A校和B校各有旧电脑12台和6台，现决定送给C校10台、D校8台，已知从A校调一台电脑到C校、D校的费用分别是40元和80元，从B校调运一台电脑到C校、D校的运费分别是30元和50元，试求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

(1)几分钟让学生认真读题，理解题意

(2)由题意可知，一种调配方案，对应一个费用。不同的调配方案对应不同的费用，在这个变化过程中，调配方案决定了总费用。它们之间存在着一定的关系。究竟是什么样的关系呢？需要我们建立数学模型，将之形式化、数学化。

解法（一）列表分析：

设从A校调到C校x台，则调到D校（12―x）台，B校调到C校是（10―x）台。B校调到D校是[6-(10-x)]即（x-4）台，总运费为y。

根据题意：

y =40x+80（12- x）+ 30（10-x）+50（x-4）

y =40x+960-80x+300-30x+50x-200

=-20x+1060（4≤x≤10，且x是正整数）

y =-20x+1060是减函数。

∴当x =10时，y有最小值ymin=860

∴调配方案为A校调到C校10台，调到D校2台，B校调到D校2台。

解法（二）列表分析

设从A校调到D校有x台，则调到C校（12―x）台。B校调到C校是[10-(12-x)]即（x-2）台。B校调到D校是（8―x）台，总运费为y。

y =40（12 – x）+ 80x+ 30（x –2）+50（8-x）

=480 – 40x+80x+30x – 60+400 – 50x

=20x +820（2≤x≤8，且x是正整数）

y =20x +820是增函数

∴x=2时，y有最小值ymin=860

调配方案同解法(一)

解法（三）列表分析：

解略

解法（四）列表分析：

解略

例2、公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件。经试销调查，发现销售量y（件），与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y =kx+b的关系

（1）根据图象，求一次函数y =kx+b的表达式

（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价―成本总价）为s元

试用销售单价x表示毛利润s；

解：如图所示

直线过点（600，400），（700，300）

∴400 =600k+b

300 =700k+b

k =-1，b =1000

∴ y =- x + 1000（500≤x≤800）

s =x(1000 – x)-500(1000 – x)

=1000x – x2 – 500000 + 500x

=- x2 + 1500x – 500000（500≤x≤800）

小结：本节课试图让学生体会到函数的本质是对应关系。在实际生活中，影响事物的因素往往是多方面的，而且它们之间存在一定的关系。数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。对于实际问题我们抽象概括出它的本质特征，将其数学化、形式化，形成数学模型。这个过程既体现了数学的高度抽象性，又因其高度的抽象性决定了数学的广泛应用性。

作业 ：略

探究活动

(1) 在边防沙漠区，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车装载供行驶14天的汽油。现有5辆巡逻车同时由驻地A出发，完成任务再返回A.为让其余3辆尽可能向更远距离巡逻(然后一起返回)，甲、乙两车行至途中B后，仅留足自己返回A必须的汽油，将多余的油给另3辆用，问另3辆行驶的最远距离是多少千米。

(2)30名劳力承包75亩地，这些地可种蔬菜、玉米和杂豆。每亩蔬菜需0.5个劳力，预计亩产值2000元；每亩玉米需0.25个劳力，预计亩产值800元；每亩杂豆需0.125个劳力，预计亩产值550元。怎样安排种植计划，才能使总产值最大？最大产值是多少元？

答案：

(1)设巡逻车行至B处用x天，从B到最远处用y天，则2[3(x＋y)＋2x]＝14×5，即

又x＞0，y＞0，14×5－(5＋2)x≤14×3，

所以x＝4时，y取最大值5.另三辆车行驶最远距离：(4＋5)×200＝1800(千米).

(2)设种蔬菜、玉米、杂豆各x、y、z亩，总产量u元。则

所以45≤x≤55，即种蔬菜55亩，杂豆20亩，最大产值为121000元。

（3）某果品公司急需汽车，但无力购买，公司经理想租一辆。一出租公司的出租条件为：每百千米租费110元；一个体出租车司机的条件为：每月付800元工资，另外每百千米付10元油费。问该果品公司租哪家的汽车合算？

解设汽车每月所行里程为x百千米，于是，应付给出租公司的费用为y1＝110x，应付给个体司机的费用为y2＝800＋10x.画出它们的图象，易得图象交点坐标为(8，8800).由图象可知，当x＜8时，y1＜y2；当x＝8时，y1＝y2，当x＞8时，y1＞y2.

综合上述可知，汽车每月行驶里程少于800千米时，租国营出租汽车公司的汽车合算；每月行驶里程大于800千米时，租个体司机的汽车合算。因此，该果品公司应先估计一下每月用车的里程，然后根据估算的结果确定该租哪家的汽车。

函数的图象 篇八

4.10正切函数的图象和性质

第一课时

（一）教学具准备

直尺、投影仪。

（二）教学目标 

1.会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图。

2.掌握正切函数的性质及其应用。

（三）教学过程 

1.设置情境

正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论 的作图。

2.探索研究

师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的。

生：在单位圆上取终边为 （弧度）的角，作出其正弦线 ，设 ，在直角坐标系下作点 ，则点 即为 图像上一点。

师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像。

（1）用正切线作正切函数图像

师：首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数？

生：∵

∴ 是周期函数， 是它的一个周期。

师：对，我们还可以证明， 是它的最小正周期。类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数 ， 的图像。

作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆。

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线。

③找横坐标（把 轴上 到 这一段分成8等份）.

④找纵坐标，正切线平移。

⑤连线。

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数 ， 且 （ ）的图像，并把它叫做正切曲线（如图1）.

图2

（2）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性。

①定义域：

②值域

由正切曲线可以看出，当 小于 （ ）且无限亲近于 时， 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于正无穷大）；当 大于 且无限接近于 ， 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于负无穷大）.这就是说， 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值。

因此，正切函数的值域是实数集 .

③周期性

正切函数是周期函数，周期是 .

④奇偶性

∵ ，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 对称。

⑤单调性

由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（ ， ）， 内都是增函数。

（3）例题分析

【例1】求函数 的定义域。

解：令 ，那么函数 的定义域是

由    ，可得

所以函数 的定义域是

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1） 与 ；

（2） 与 .

解：（1）∵

又  ∵ ，在 上是增函数

∴

（2）∵

又   ∵ ，函数 ， 是增函数，

∴   即 .

说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决。

3.演练反馈（投影）

（1）直线 （ 为常数）与正切曲线 （ 为常数且 ）相交的相邻两点间的距离是（      ）

A. B. C. D.与 值有关

（2） 是 的（       ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

（3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合

① ②

参考答案：

（1）C.注： 与 相邻两点之间距离即为周期长

（2）D.注：由 ，但 ，反之 ，但

（3）①

②

4.总结提炼

（1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

（2） 性质。

定义域

值域

周期

奇偶性

单调增区间

对称中心

渐近线方程

奇函数

，

（四）板书设计 

课题……

1.用正切线作正切函数图像

2.正切函数的性质

例1

例2

演练反馈

总结提炼

函数的图象 篇九

一、目的要求

1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

2.结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

3.在学习的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

二、内容分析

1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13.3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

三、教学过程

复习提问：

1.什么是一次函数？什么是正比例函数？

2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x   y=2x-1   y=2x+1

新课讲解：

1.我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

-本站§ 再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

一般地，一次函数的图象是一条直线。

前面我们在画一次函数的图象时，采用先列表、描点，再连续的方法。现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

先看两个正比例项数，

y=0.5x

与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

y=0

即函数图象经过原点。(让学生想一想，为什么？)

除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：

(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k)；

(2)在坐标平面内描出点(0， o)与点(1，k)；

(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线。

这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象。

观察正比例函数  y=0.5x 的图象。

这里，k＝0.5＞0.

从图象上看， y随x的增大而增大。

再观察正比例函数 y＝-0.5x  的图象。

这里，k＝一0.5＜0

从图象上看， y随x的增大而减小

实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质。

先看

y=0.5x

任取两对对应值。 (x1,y1)与(x2,y2)，

如果x1＞x2，由k＝0.5＞0，得

0.5x1＞0.5x2

即   yl＞y2

这就是说，当x增大时，y也增大。

类似地，可以说明的y＝-0.5x  性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：

（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；

（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。

2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)

通常选取

(o，b)与(-

两点，

对于例 l中的一次函效

y=2x+1与y=-2x+1

就分别选取

(o，1)与(一0.5，2)，

还有

(0，1)—与(0.5.0).

在例1之后，顺便指出，一次函数y＝kx+b的图象，习惯上也称为直线) y＝kx+b

结合例1中的两个一次函数的图象，就可以得到与正比例函数类似的关于一次函数的两条性质。

对于一次函数的性质，也可以从一次函数的解析式分析得出，这与正比例函数差不多。

课堂练习：

教科书13.5节第一个练习第l—2题，在做这两道练习时，可结合实例进一步说明正比例函数与一次函数的有关性质。

课堂小结：

1.正比例函数y=kx图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求图象。

2. 一次函数y＝kx+b图象的画法：在y轴上取点(0，6)，在x轴上取点，0)，过这两点的直线即所求图象。

3.正比例函数y=kx与一次函数y＝kx+b的性质(由学生自行归纳).

四、课外作业

1.教科书习题13.5a组第l一3题。

2.选作教科书习题13.5b组第1题。